Koordinaten

Ko|ordinaten

 

[zu kon... und lateinisch ordinare »ordnen«, also eigentlich etwa »einander Zugeordnete«], Singular Ko|ordinate die, -,  

 1) Astronomie: astronomische Koordinaten.

 

 2) Geographie: geographische Koordinaten.

 

 3) Mathematik und Physik: Größen zur Bestimmung der Lage von Punkten und Punktmengen (z. B. Kurven, Flächen) in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum (allgemein im n-dimensionalen Raum); für ihre Darstellung wird ein Bezugssystem, das Koordinatensystem, festgelegt.

 

Am häufigsten ist das kartesische (rechtwinklige) Koordinatensystem. Im Fall der Ebene besteht es aus zwei zueinander senkrechten Zahlengeraden (Koordinatenachsen), die sich in ihren Nullpunkten schneiden; sie bilden das Achsenkreuz. Der gemeinsame Schnittpunkt O wird Ursprung, Nullpunkt oder Koordinatenanfangspunkt genannt. Die erste (meist waagerecht dargestellte) Achse wird als x-Achse (Abszissenachse) bezeichnet, die zweite als y-Achse (Ordinatenachse). Die Orientierung der Achsen, auf denen Einheitsstrecken vorgegeben werden, ist so festgelegt, dass die positive x-Achse durch eine Linksdrehung in die positive y-Achse übergeht. Die Ebene wird durch die Koordinatenachsen in vier Gebiete (Quadranten) geteilt, die (bei dem von der positiven x- und der positiven y-Achse begrenzten Quadranten beginnend) im mathematisch positiven Umlaufsinn (Linksdrehung) von I bis IV durchnumeriert werden.

 

Es sei P ein Punkt der Ebene; schneidet die Parallele durch P zur y-Achse die x-Achse in x_P und die Parallele durch P zur x-Achse die y-Achse in y_P, so kann man dem Punkt P eindeutig das Zahlenpaar (x_P, y_P) zuordnen (und umgekehrt jedem Koordinatenpaar eindeutig einen Punkt P; d. h., die Zuordnung ist eineindeutig); x_P wird dann x-Koordinate (Abszisse), y_P y-Koordinate (Ordinate) von P genannt. Ist (x_P, y_P) das Koordinatenpaar des Punktes P, so schreibt man hierfür P = (x_P, y_P) oder kurz P (x_P, y_P), auch P (x_P; y_P).

 

Das kartesische Koordinatensystem im (dreidimensionalen) Raum ist ähnlich aufgebaut. Es besteht jedoch aus drei Koordinatenachsen, die paarweise rechtwinklig zueinander sind. Die dritte Achse wird in der Regel als z-Achse bezeichnet. Die Orientierung der Achsen ist dabei folgendermaßen festgelegt: Schaut man gegen die z-Richtung (»von oben«), so geht die positive x-Achse durch eine Linksdrehung um 90º in die positive y-Achse über. Die drei Achsen entsprechen damit einem Rechtssystem (Dreibein). Je zwei Achsen spannen eine Koordinatenebene (die x-y-, die x-z- und die y-z-Ebene) im Raum auf. Diese stellen ein ebenes kartesisches Koordinatensystem dar. Durch die drei Koordinatenebenen wird der Raum in acht Gebiete, die Oktanten, geteilt.

 

Es sei P ein Punkt des Raumes; die Parallele durch P zur z-Achse schneide die x-y-Ebene im Punkt P₁. Als x-Koordinate x_P des Punktes P bezeichnet man die x-Koordinate des Punktes P₁ in der x-y-Ebene. Entsprechend ist die y-Koordinate y_P von P gleich der y-Koordinate von P₁ in der x-y-Ebene. Die Parallele von P zur y-Achse schneide die x-z-Ebene in P₂. Dann definiert man die z-Koordinate z_P des Punktes P als die z-Koordinate von P₂ in der x-z-Ebene. Man kann somit eineindeutig dem Punkt P das Koordinatentripel (x_P, y_P, z_P) zuordnen. (analytische Geometrie)

 

Sind die Koordinatenachsen nicht rechtwinklig zueinander, so bezeichnet man das Koordinatensystem als schiefwinkliges Koordinatensystem. Die Koordinaten eines Punktes findet man wie beim kartesischen Koordinatensystem über die Parallelen zu den Achsen. Aus diesem Grund werden die kartesischen und die schiefwinkligen Koordinatensysteme auch als Parallelkoordinatensysteme (affine Koordinatensysteme) bezeichnet. Bei einigen Problemen ist es von Vorteil, statt eines Parallelkoordinatensystems ein krummliniges Koordinatensystem zu verwenden. Das verbreitetste ist hierbei das Polarkoordinatensystem.

 

Das ebene Polarkoordinatensystem besteht aus einem Punkt O (Pol) der Ebene und einem von O ausgehenden Zahlenstrahl (Polarachse). Ein Punkt P wird nun eineindeutig durch das Polarkoordinatenpaar (r, ϕ) festgelegt, wobei r (Leitstrahl, Radiusvektor) seine Entfernung vom Pol O und ϕ der Winkel (Polar-, Polwinkel) ist, den die Achse mit der Verbindungsstrecke OP einschließt. Der Übergang von einem kartesischen Koordinatensystem (x, y) in ein ebenes Polarkoordinatensystem (r, ϕ), d. h. die Koordinatentransformation von kartesischen Koordinaten in ebene Polarkoordinaten, wird dargestellt durch die Gleichungen

 

oder umgekehrt ϕ = arctan y / x.

 

Die ebenen Polarkoordinaten lassen sich durch Hinzunahme des Abstandes des Punktes P (r, ϕ, z) von der r, ϕ-Ebene (z-Richtung) zu Zylinderkoordinaten erweitern.

 

Im räumlichen Polarkoordinatensystem ist neben einem Punkt O als Pol und einer von O ausgehenden Polarachse eine Ebene (Polarebene) angegeben, die die Polarachse enthält. Sei P ein Punkt im Raum, r sein Abstand zu O, ϕ der Winkel zwischen der Polarachse und der Projektion der Strecke O̅P̅ in die Ebene und ϑ der Winkel zwischen O̅P̅ und dem von O ausgehenden, auf der Ebene senkrecht stehenden Strahl, der zusammen mit der Polarachse ein Rechtssystem bildet. Der Punkt P wird durch das Tripel (r, ϕ, ϑ) eindeutig bestimmt; r, ϕ und ϑ werden räumliche Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten oder sphärische Koordinaten genannt.

 

Ein weiteres in der Ebene angewendetes krummliniges Koordinatensystem ist das elliptische Koordinatensystem, bei dem ein Punkt als Schnittpunkt einer Ellipse mit einer Hyperbel beschrieben wird.

 

 4) Kristallographie: kristallographische Achsenkreuze.

 

 5) Mechanik: verallgemeinerte Koordinaten.

 

 6) Vermessungskunde: gaußsche Koordinaten.